Математик Риманн и риманово пространство

Альберт Эйнштейн изменил наше представление о Вселенной в 1915 году, когда опубликовал общую теория относительности.  В этой теории он сформулировал понятие четырехмерного пространства-времени, которое деформируется, и кривые зависимости от массы или энергии. Геометрический фундамент его работ был заложен раньше на 60 лет в работе немецкого математика по имени Георг Фридрих Бернхард Риманн.

 Риманн

Георг Фридрих Бернхард Риманн

Родился Риманн на территории нынешней Федеративной Республики Германии  в 1826 году и был вторым из шести детей лютеранского пастора, который учил своего сына пока ему не исполнилось десять. Молодой Риман стеснялся ровесников, но был одаренный в математике – настолько, что во время учебы в средней школе в Ганновере его знания иногда превосходили знания его учителей. В 1846 году его отец наскреб достаточно средства на отправку сына в Геттингенский университет, где Риман первоначально собирался учиться богословию, чтобы помочь поддержать  семью. В процессе обучения студент стал  посещать лекции Карла Фридриха Гаусса и Морица Штерна, которые вдохновили его сменить учебное заведение. С благословения родителей  Риман перешел в Берлинский университет в следующем году, обучаясь у некоторых из самых выдающихся математиков своего времени.

Два года спустя, в 1849 году, он вернулся в Геттинген, чтобы защитить докторскую степень с Гауссом. Защитив диссертацию в 1851 г. по теории комплексных переменных, основа то, что мы теперь называем римановыми поверхностями. Гаусс описал Римана как «великолепно плодородного человека».

Два года спустя от Римана потребовали проведение лекций на факультете в Геттингене.  Гаусс назначил своему звездному ученику тему основ геометрии – тему, казалось бы, приземленную.

Риманн не разочаровал своего наставника, несмотря на боязнь публичных выступлений. Он использовал возможность разработать весьма оригинальную теорию высшего образования.

Это он описал в лекции «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», представленной 10 июня 1854 г., которая включала работоспособное определение того, как можно измерить искривление пространства. Эта лекция была  опубликована только  два спустя после его смерти, в 1866 году, и сейчас считается одним из важнейших геометрических произведений.

Лекция состояла из двух частей. В первой части, вопрос о том, как мы могли бы определить  n-мерное пространство которое привело к определению риманова пространства, включая тензор Римана. Это положило начало области римановой геометрии.

Во второй части лекции Риман обсудил размер реального пространства и какую геометрию нужно использовать, чтобы описать это. Лекция имела оглушительный успех, несмотря на тот факт, что идеи Римана были настолько развиты что только Гаусс полностью оценил их глубину.  Гаусс сам проделал важную работу в самом начале его собственной карьеры в теории поверхностей в двух измерениях, позволяющей точно оценить искривление математически. И в письме 1824 г. Фердинанду Швейкарту  Гаусс писал про возможное искривление пространства, признавая: «Я время от времени в шутку выражал желание, чтобы Евклидова геометрия была бы неправильной». Известно, что математик Евклид один из самых влиятельных ученых.

Гаусс продемонстрировал, что одно число требуется для описания кривизны около точки в двумерное пространство (гауссова кривизна).

Риманн распространил это понятие на пространства с любыми количество измерений, демонстрируя, что нужно шесть чисел, чтобы описать кривизну любой точки в трехмерном пространстве (риманова метрика) и 20 чисел для четырехмерного пространства. Тензор кривизны Римана – это просто сбор номеров на каждой точке в пространстве, описывающая его кривизну.математик Риманн

Риман продолжал делать ценный вклад в анализ, теорию чисел и сложные теории многообразий. Попытка его наставников назначить Римана преподавателем  в  Геттингене не удалось, хотя университет назначил его профессором в 1857 г. с постоянной зарплатой. В 1857 году он опубликовал свою работу по абелевой функции (обобщение эллиптической функции)  расширяя свои идеи о топологических свойствах римановых поверхностей. Он наконец заработал на кафедре математики в Геттингене в 1859 г. и был избран в Берлинскую академию наук. В 1862 году он женился на подруге своей сестры и у них родилась дочь. Но его личное и профессиональное счастье был недолгим. Позже в том же году Риман, который никогда не был очень здоровым – перенес  тяжелую простуду, переросшую в туберкулез. Он провел  зиму в более теплом климате Сицилии, но никогда полностью его здоровье не восстановилось. Он ездил туда и обратно между Геттингеном и Италией в следующие несколько лет. Однако его здоровье ухудшилось, и он умер 20 июля 1866 г. в 39 лет, отдыхая на берегу озера Маджоре в Италии.  Есть предположение, что домработница убирая беспорядок в его офисе после смерти выбросила несколько неопубликованных работ.

Влияние Риманна на математику и физику остается неизменным. Он отразил интеллектуальный переворот математики конца 19 века, в котором ученые боролись с перевернутый зеркальный мир заполненный искривленным пространством и мнимыми числами.